RELASI Matematika Diskrit

Disini saya akan menjelaskan tentang relasi dari beberapa sumber yang saya ketahui, let’s check it.

Relasi

·         Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A×B.

·         Notasi: R ⊆ (A×B).

·         a R b adalah notasi untuk (a, b) ∈ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R

·         a R b adalah notasi untuk (a, b) bukan ∈ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

·         Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 1.

 Misal :

A = {Devan, Putra, Titan}, B = {44301, 44302, 44303, 44304}

A×B = {(Devan, 44301), (Devan, 44302), (Devan, 44303), (Devan, 44304),

  (Putra, 44301), (Putra, 44302), (Putra, 44303), (Putra, 44304),

  (Titan, 44301), (Titan, 44302), (Titan, 44303), (Titan, 44304) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu :

R = {(Devan, 44302), (Devan, 44304), (Putra, 44301), (Putra, 44302), (Titan, 44304)}

- Dapat dilihat bahwa R⊆(A×B),

- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (Devan, IF251)∈R atau Devan R 44302

- (Devan, IF342)bukan∈R atau Devan R 44303

Contoh 2.

Misal P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh :

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

· Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

· Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A×A.

· Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A×A.

Contoh 3.

Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) ∈ R jika x adalah faktor prima dari y. Maka,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

REPRESENTASI RELASI

1.   Representasi dengan Diagram Panah

 2.      Representasi Relasi dengan Tabel

·         Kolom pertama table menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

3.     Representasi Relasi dengan Matriks

      ·         Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}.

·         Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m_ij], 

yang dalam hal ini

Contoh 4.

Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

dalam hal ini, a₁ = Amir, a₂ = Budi, a₃ = Cecep, dan b₁ = IF221,

b₂ = IF251, b₃ = IF342, dan b₄ = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks seperti di bawah ini

yang dalam hal ini, a₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, dan b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 9, b₅ = 15.

4.    Representasi Relasi dengan Graf Berarah

·         Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah.

·         Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

·         Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)

·         Jika (a, b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

·         Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul ake simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh 5.

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

Sifat-sifat Relasi Biner

Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

1.Refleksif (reflexive)

·      Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)∈R untuk setiap a∈A.

·      Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a∈A sedemikian sehingga (a, a) bukan∈R.

Contoh 6.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) bukan∈R.

Contoh 7.

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)∈R untuk setiap a∈A.

Contoh 8.

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y,                       S : x + y = 5,                          T : 3x + y = 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

Contoh 9. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)ÎR untuk setiap a Î A.                  

Contoh 10. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

            R : x lebih besar dari y,            S : x + y = 5,    T : 3x + y = 10

 Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

·         Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

·   Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

1.      Menghantar (transitive)

·         Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R, maka (a, c) Î R, untuk a, b, c Î A.

Contoh 11.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a)      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

(b)        R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) Î R, tetapi (2, 2) Ï R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) Î R, tetapi (4, 3) Ï R.

(c)         Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

(d)   Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) Î R dan (b, c) Î R  sedemikian sehingga (a, c) Î R.

(d)       Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

Contoh 12.

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini  c = nma, sehingga a habis membagi c.  Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.                                                                                                                   

Contoh 13.

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

            R : x lebih besar dari y,            S : x + y = 6,    T : 3x + y = 10

-  R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) Ï S.

- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.                      

·         Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

·         Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur  dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

1.      Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric)

·         Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a, b Î A, jika (a, b) Î R, maka (b, a) Î R.

·         Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) Î R sedemikian  sehingga (b, a) Ï R.

·         Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika untuk semua a, b Î A, (a, b) Î R  dan (b, a) Î R  hanya jika a = b.

·         Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) Î R dan (b, a) Î R.

·         Perhatikanlah bahwa istilah setangkup dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ¹ b.

Contoh 14.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a)    Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) Î R  maka (b, a) juga Î R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) Î R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) Î R.

(b)    Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) Î R, tetapi (3, 2) Ï R.          

(c)     Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) Î R, 2 = 2 dan (2, 2) Î R, dan 3 = 3 dan (3, 3) Î R. Perhatikan bahwa R juga setangkup.

(d)    Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) Î R dan 1 = 1 dan, (2, 2) Î R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.

(e)     Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ¹ 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup.

(f)     Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } setangkup dan juga tolak-setangkup, dan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.

(g)    Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup maupun tidak tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4, 2) Î R tetapi (2, 4) Ï R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) Î R dan (3, 2) Î R tetap 2 ¹ 3. 

Contoh 15.

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2, 4) Î R tetapi (4, 2) Ï R. Relasi “habis membagi” tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4) Î R dan 4 = 4. 

Contoh 16.

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

            R : x lebih besar dari y,            S : x + y = 6,                T : 3x + y = 10

- R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.

- S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S.

- T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi  (1, 3) bukan anggota T. 

-  S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) Î S dan

    (4, 2) Î S tetapi 4 ¹ 2.

- buktikanlah relasi R dan T keduanya tolak-setangkup                                                   

·         Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau m_ij = m_ji = 1, untuk i = 1, 2, …, n :

·         Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

·         Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika m_ij = 1 dengan i ¹ j, maka m_ji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari m_ij = 0 atau m_ji = 0 bila i ¹ j :

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

Relasi Inversi

·         Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

                        R^–1 = {(b, a) | (a, b) Î R }

Contoh 17.

 Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

(p, q) Î R  jika p habis membagi q 

maka kita peroleh :

            R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R^–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P  dengan

(q, p) Î R^–1  jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh :

            R^–1  = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }                                                       

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

    maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M, 

Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

·         Jika R₁ dan R₂ masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R₁ Ç R₂, R₁ È R₂, R₁ – R₂, dan R₁ Å R₂ juga adalah relasi dari A ke B.

Contoh 18.

Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

Relasi R₁ = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R₂ = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

            R₁ Ç R₂ = {(a, a)}

            R₁ È R₂ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

            R₁ -  R₂ = {(b, b), (c, c)}

R₂ - R₁ = {(a, b), (a, c), (a, d)}

R₁ Å R₂ = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}                                                               

·         Jika relasi R₁ dan R₂ masing-masing dinyatakan dengan matriks M_R1 dan M_R2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

            M_R1 È R2 = M_R1 Ú M_R2   dan      M_R1 Ç R2 = M_R1 Ù M_R

_{Sekian yang dapat saya sampaikan, apabila ada kesalahan atau re-post, mohon dimaafkan. :)}

_{masih ada soft file di Ms.Word, tapi saya kesusahan untuk me-link nya. mungkin lain kali akan lebih diperbaiki.}

_{terimakasih..}