INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Contoh

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n².

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, ingat bahwa

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan.  Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements " n Î A S(n) dengan A Ì N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional

BALADA cinta SMP part 2 -end-

Sambungan Part 1

     Obrolan berlanjut, gue sms Tetty buat jemput Monic sama Encus. Berhubung motor cuma muat buat boncengan bertia, gue sama Bowo ditinggal deh. (kesempataan) mihihi :p
     Bowo nawarin gue buat ikut nyusulin ke tempat Tetty "Ah nggak usah wo, biar gue jalan aja. Deket kok" Padahal rumahnya Tetty tu jauh banget!! kalo jalan bisa 15menitan deh, tapi tetep JAIM dong ya!! "Halah, udah yok gue anterin, bentar gue ambil motor dulu ye" YESSS!!!!! jejingkrakan sendiri dibawah pohon mangga *sekalian ambil mangga yang bisa diraih kalo gue lompat*.
     Bowopun dateng pake VIZ-R item metalic. (masih inget persis, koplingnya agak bengkok dikit) Secara gue masih pake seragam dan rok gue sepan, gue boncengnya dengan posisi yang nggaenak banget, UNTUNG boleh pegangan. MUAHAHAHA *evil laugh*
    Sampe rumah Tetty, gue dikasih tau yang punya rumah kalo si Monic pingsan. MATILAH gue, mau bilang apa ke bonyoknya kalo tau anaknya teler demi nemenin temennya kencan. gue bingung, panik, idung kembang kempis lagi. gue seketika itu lupa kalo ada Bowo. YAK OKE DHIKA, elu bikin dia ilfeel lagi. terus si Tetty bilang "Wo, tanggung jawab lu nih". "lah kok gue? kalo Dhika yang pingsan, gue baru tanggung jawab!" EDYAAAN, rasanya mau pingsan saat itu juga *mimisaaaan*
    Tanpa disangka dan dinyana, si Monic ketawa "ebuset, kenapa tu anak?pingsan tapi ngakak?" apa dia kena ayan? eh ternyata gue sama Bowo dikibulin biar gue panik. Nongollah juga si Encus dari balik pintu ikut ngakak, sebenernya apa yang lucu coba? gue rasa orang yang habis muntah di bis, otaknya jadi agak geser deh.
     Singkat cerita, gue pulang dengan meninggalkan dan membawa cerita  :)
     Hari Minggu, seperti biasa gue smsan sama Bowo, tapi bedanya sekarang dia udah balik ke jakarta. Nggak ada angin nggak ada hujan, ada incoming call dari "9ant3nx". Panik! gue langsung ngaca, emangnya ada hubungannya gitu ngaca sama telpon? YAKALEE namanya juga panik.
    "Halo dhik, lagi apa? blablabla, gue lagi di puncak ni, nemenin bokap gue bisnis, gini gitu"
    "Halo juga wo, gue nggak lagi ngapa-ngapain ni blablabla"
    "eh dhik, lu mau nggak jadi PACAR gue?"
    "Nomor yang anda tuju, orangnya sedang mimisan sambil kayang" eh nggak ding "apa ? emm gimana yaaa" <<-- kenapa sih nggak langsung bilang IYA aja!! dasar anak SMP!!!
     "Iya lu mau kaga? kalo nggak mau ngga papa sih" suaranya melemah, pertanda sedih atau ngempet pingin ketawa.
     "Iyadeh, aku mau :)" suaranya bergetar, yakaleee gue sampe pipis di celana
     "oke, sekarang lo jadi pacar gue ya, BEB" suaranya (kaya) girang gitu "eh udahan dulu ya, gue telpon karena mau nembak lo kok, hehe. yaudah ya BEB, jangan lupa makan. dadaah" tut..tut..tut..
      1 detik nafas berhenti, 2 detik, 3 detik, 5 detik, 34,6 detik pingsan.
      YEEEEYYY WOHOOOOO WHUALAAA THIS IS IT!!! ALA CHEF F.. lah kenapa jadi ini? ._.
      Gue SENEEENG BANGET, gue nulis ini aja sampe ikutan flash back lagi, ini udah jam setengah 12 malem, agak ngantuk sih, tapi gue masih asoy aja ngetik :)
      Beberapa bulan berlau, LDRpun dengan angkuh kita lewati. Asal komunikasi lancar, everything's gonna be OK. Badai dateng dari temen sekelas gue sendiri, sebut aja Ayu. Dia koar-koar soal pacarnya yang namanya Tony, katanya kemarin habis ketemuan sama Tony, blablabla. kamus gue, NO PICT = HOAX. Gue sama anak-anak pingin tau tuh siapa sih si Tony yang digembar gemborin sebegitunya. Temen sebangku Ayu, si Evi minjem hapenya Ayu. terus si Evi ngebisikin "Dhik, mau Tony kaya apa?" Evi nyodorin hapenya Ayu dan ASTAGA!!! Sejak kapan fotonya Bowo ada di hape dia?? Lah ini kan fotonya Bowo yang ada di hape gue, pasti tanpa gue sadar pas dia pinjem hape gue, dia biluetoothin foto-fotonya Bowo. dan yang lebih JIJAY lagi, foto Bowo dikasih nama TONY SAYANG. Maksutnya apaaaa??? NGAKU NGAKU!!! Si Ayu yang sadar kalo gue pegang hapenya, langsung panik. Gue gondol aja hapenya ke kamar mandi. Kejar-kekaran ala india berlangsung. Gue masuk kamar mandi dan Ayu gedor-gedor pintu kenceng banget, dan gue rasa semua guru bakal denger deh. Gue emosi, gue marah, Ayu temen deket gue, tapi kenapa bisa begitu? gue hapusin foto Bowo di hapenya, pingin rasanya banting itu hape, tapi nanti gue nggak bisa ganti, kasian juga si Ayu nggak bisa smsan ._.
     Gue keluar kamar mandi, ngadepin Ayu. Karena badan gue lebih tinggi dari dia, gue taruh hapenya di atas ventilasi kamar mandi. OKESIP. Ambil sendiri ! Pas gue mau masuk kelas, gue ketemu guru BP. Matilah, tapi ibu guru yang manis hanya tersenyum dan akupun membalasnya. Selameettt ~
Pas gue mau masuk kelas, di depan kelas banyak anak-anak pada kepo, ada apa. Gue jelasin, anak-anak cuma pada bilang "wow" "kok bisa" "ih tega ya" dan kata pamungkas, "sabar". Gue duduk, mungkin kalo gue super saiya, disekeliling gue bakal ada api api gedhe gitu.
     Agak lama, datenglah si Ayu. Anak sekelas pada sinis sama dia, gue agak diatas angin karena banyak yang belain. Mata Ayu merah, nggak tau nangis karena udah boongin gue atau nangis karena kesel susah ngambil hape yang nyangsang di atas pintu, who knows?
    "Dhik, aku bisa jelasin semuanya"
    "Nggak ada yang perlu dijelasin. semua udah jelas! kita putus!!" laaah. "ah udahlah Yu, gue nggak nyangka aja ternyata selama ini Tony tu palsu, HOAX yang ada lo malah ngambil foto pacar gue"
     tilut tilut ~ hape gue bunyi. Kebeneran banget Bowo telpon, gue lagsung ngadu blablabla, si Bowo malah cuma bilang "Udah ya beb, jangan marah, dia paling cuma iri sama kamu". IH APAAN DEH INI ORANG? pede abis, iya emang lu ganteng, tapikan ya nggak gitu juga kale ah -___-
     Akhir kata singkat cerita, LDR itu emang berat (akhirnya ngaku) 3 atau 5 bulan gitu gue udah jarang smsan sama doi, doi juga jarang sms duluan. intinya selama ini kita sama-sama nunggu sms. Akhirnya bowo sms duluan, yang bunyinya "Beb, bangkai itu lama kelamaan bakal kecium loh baunya. Aku nggak tau kamu kenapa selama ini. Tapi waktu pasti bakal jawab semuanya kok :)" MATIK! emang sih, pas itu gue juga lagi deket sama Musa, yaaa pihak ketiga yaa, mana ada yang tahan LDR lama-lama. Apalagi masih ababil, dan banyak pemikiran kalo "ah paling dia disana ada yang baru", "ah paling dia juga nggak mikirin gue". terjadilah cheating.
      Akhirnya gue putus sama "cinta pada pandangan pertama gue". Gue sama Musa. Gue nemuin sesuatu yang lain. tapi sekarang gue jadi sadar, cheating itu sangat dilarang, apalagi nge cheatin cowo kece badai macam si Bowo. Namanya nggak klop ya sama bayangannya. Bowo tu orangnya tinggi, putih, badannya atletis gitu, rambutnya gondrong (tipikal anak kuliah semt 3), agak sedikit berjenggot tapi diit banget loh! idungnya mancung, mukanya kaya Miller. SUMPAH deh, nggak bohong. nyokap gue aja meng iyakan kalo mukanya kaya gitu. banyak orang malah yang meng iyakan.
     setahun berlalu setelah putus, pas lebaran, tiba-tiba Bowo sama Oky dateng ke rumah gue. Setahun lamanya nggak ketemu Bowo, dia bedaaa banget. Jadi baik banget sama gue, udah ngelupain semuanya, padahal pisahnya kita agak sedikit tegang. Ketawa-ketiwi kalo inget masa lalu. Habis itu hubungan kami membaik, smsan (biar nggak se intens dulu) Tahun berikutnya,dia dateng lagi. Tahun depannya juga. Tapi udah 5 tahun ini gue sama sekali nggak dapet kabar daari dia. Gue coba hubungin, tapi nomernya nggak aktif. Sampe gue pindah ke Jakarta karena ikut bokap, dan gue ngubungin mas OKy buat tau kabarnya Bowo, tapi mas Oky pun jugaudah lama nggak ketemu Bowo, lebaran aja nggak ketemu. Yaudah :)
     HAHA itu cerita gue soal mantan yang punya history tersendiri ..
     Gue berharap, semua yang ada di cerita ini selalu dalam lindungan Tuhan, hidupnya penuh keberkahan, dan gue minta maaf yaa kalo gue masukin nama kalian tanpa royalti (iya kalo mereka baca), bhaha.

MAKASIH buat Nurbaety Sandviasar Nugraheni, si Gendut yang manis, yang sering banget gue olok-olok di cerita ini. biar gimanapun gue sayang elu ndut, elu juga yang bikin cerita ini ada dan bersambung. thanks dear :)

Segini dulu deh, ke KEPOan gue yang malah bikin cerpen sampe tuntas dalam waktu nggak sampe 3 jam. REKOR!!! YEEEY.

Wassalam :)

BALADA cinta SMP part 1

     Tadi pas buka facebook, nggak sengaja pingin ngepoin mantan pacar pas SMP. HAHAHA, kepo itu kadang ngingetin sama sesuatu hal yang lucu, yang absurd, dll dsb dst dst dst dst ....
Tadi, pas ngepoin doi (sebut saja mawar) eh bukan ding ! dia laki kok, sebut saja bowo (bukan nama samaran) eh -_____-
     AKTOR kita hari ini adalah Ginanjar Ahmad. W***** . Doi kuliah di Univ. Mercubuana (oke oke ini iklan yaa).
"HAH? KULIAH dhik? ciyus? miapah??". "ciyus deh! mi amuuu :* (lah ini kenapa jadi ababil)
OKE!! akan saya jelaskan secara gamblang dan akan saya klarifikasi semuanya. *tiba tiba kamera dimana mana* *emang gue artees??*
     JADI, DULU itu pas jaman SMP, jaman dimana para ababil'ers tingkat dewa dan alayers tingkat kayangan berkembang biak secara ekstrim, gue and the gank (ini girlband ato apa) karena udah kelas 3, jadi kan ikut les bimbel dan segala macem les kan, NAH pas lagi jam istirahat gue sama temen-temen keluar cari jajan. dan disanalah, gue bertemu dengan, TETTY (pasti pada ngirain gue ketemu sama Bowo ya??) HUAHAHA.
FOKUS DHIK FOKUS!!!!! ohyaaa
     Disanalah gue ketemu Tetty, cewe gendut manis yang lagi jajan cimol dan doi ketemuan sama pacarnya. Karena tipikal anak ababil adalah KEPO, maka dengan ngumpet-ngumpet, gue ngikutin Tetty. Penasaran, "kaya apasih pacarnya?" dari kepo itulah gue ketemu Bowo.
     ASTAGANAGA GANTEEENGnya NAUDZUBILAH!! and BELIEVE it OR NOT, kaki gue gemeteran. Nggak tau karena gue kebelet pipis atau shock liat cowo yang gantengnya abnormal. Kalo gue nggak anemia, bisa kali gue sampe mimisan. Karena jujur aja, gue setengah cowo, dan biasanya tiap liat cowo manapun, GUE BAKAL BIASA AJA. Habis itu, gue nggak bisa ngomong apapun. Saking lemesnya, gue langsung ndomprok di trotoar. Sampe ada temen yang lewat manggil-manggil gue, gue nggak ngeh. Dari situ gue percaya "love at the first time".
     Setelah 75,675867% sadar, gue manggil manggil centil si Tetty "Ndut, bilangin sini". Si Tetty dateng (bum bum bum lalu gempa) masyaallah, jahat banget -__-. "iya ada apa, kring (cungkring-red)". "itu tadi cowo lo? yang item itu kan?" "Ya ampun, jahat banget sih lo" "eh, maaf ding. terus itu sebelahnya siapa?". Tetty belum jawab aja gue udah deg degan, jantung mau copot, hati mau pecah *ambulance pun datang* FOKUS! "ohh, itu si.. siapa ya namanya? pokoknya sepupunya mas oky kok (pacarnya Tetty tu Oky) kenapa emang?".
Wah heran nih gue sama ini anak, kok pesonanya Bowo bisa mental gitu? apa karena badannya Tetty ndut? makannya mental? Gue langsung manggil anak-anak "PRIUWIT!! sinii"
cewe manis yang rambutnya keriting, si Nur dateng "opo?". "cowo Nur, ganteeeng" "mana?" "ituloh yang pake jaket coklat, yang putih, yang mancung, sebelahnya tukang batagor" "oh.. EH IYA YA NGGANTENG BANGET IK!!!!" Merasa ada ancaman, gue lansung to do point ke Tetty, mintain nama, sukur-sukur nomer hape.
     Anak-anak yang lain mulai dateng, dan dengan bodohnya gue ngasih tau adanya lelaki tampan ke temen-temen. Itu sama aja kaya nawarin diskonan ke ibu ibu. PADA REBUTAN LAH!!!
Datanglah si Tetty, kali ini nggak gempa kok, karena Tetty baik, bawa TOP SECRET. Disitu gue tau namanya Bowo PLUS nomor hapenya. YA TUHAAAN TERIMAKASIIIIH. Rasanya kaya terbang naik paus akrobatik, menuju rasi bintang paliing manis. Tiba tiba Tetty bilang gini "ngapain sih kok sampe minta nomor hape segala? naksir ya? JELEK JELEK gitu kok mau? gantengan juga mas Oky"
HELO!! perbandingan Oky sama bowo itu 1:9, ekstrim abis. katanya sodaraan, tapi kok jauh?? YAKALEEE, secara pacarnya tu si Oky, coba kalo jomblo. Orang anak-anak dengkulnya pada lemes semua kok karena liat Bowo. apa gara-gara gendut lagi, makanya dengkulnya Tetty nggak kena syndrom goyang karena keberatan badan. *TETTY, TAMPAR AKU TET. TAMPAR!!*
     Tiba-tiba bel masuk bunyi, gue sama anak-anak puas puasin liat si Bowo dari jauh. Rasanya tu pingin ada di bawah pohon, liatin dia dari jauh juga nggak papa, nggak ikut les nggak papa, nggak lulus juga nggak papa (IDIH) asal bisa liat dia terus :)
    Habisnya si Tetty salim salim sama pacar dan OMG sodaranya itu, kita semua masuk.
    Di kelaspun, topiknya masih seputar Bowo, Bowo, dan Bowo. Gue coba sms ke nomor yang tadi dikasih Tetty.
    Isi smsnya apa coba? (gue lupa, gue sms dia pertama kali apa, tapi kayanya gini deh)
    "eH, halLo.. qM taDhi3 di dEp4n SMP itUwh ea? y9 p4k3 jak3t cokLat?"
     Iseng-iseng berhadiah lah. Dibales ya sukur, nggak dibales ya Tetty ang jadi sasarannya (gila gue jahat banget ya?)
    Ini nih jeleknya cinta. guru ngajarin apa, kita ngeh nya sama apa. Sejak kapan matematika sama fisika begitu menyenangkan. Menyenangkan pas guru nerangin, tapi menyedihkan pas disuruh maju ke depan buat evaluasi T____T
    Malemnya, pas lagi nonton tivi sama ngupil, hape gue bunyi. "TUMBEN amat bunyi? biasanya hape cuma bisa dipake buat nyontek pas ulangan aja" (gue lupa sama kejadian tadi siang, gue amnesia)
    Karena gue kasih nama "9anT3nx" gue tau kalo itu si Bowo, belum dibaca aja rasanya badan udah rontok ,nggak ada tenaga lagi buat baca. Isi smsnya :
     "Iya, ini ci4pa eah?" (gubrak!! ternyata jaman itu anak kuliahan smt 3 MASIH ALAY ya?) -___-
     "ini t3menny4 t3tty, kamU codRanYa mZ 0kY eah?" (anggaplah semua konversasi sms disini pake tulisan alay, soalnya cape juga gue ngetik bahasa kalkulator)
     SMSanpun bersambut. Pagi hari, dengan bangga dan hidung kembang kempis, gue umumin ke anak-anak kalo semalem gue smsan sama Bowo. Karena banyak anak-anak yang kalah langkah dan iri sama gue, gue ngerasa jadi kaya MISS UNIVERSE dunia akhirat. MUAHAHAHAHA
     Akhirnya banyak yang menyerah dan gugur satu persatu. Jalinan pertemanan gue dan Tetty akhirnya seperti sepasang sahabat kental. Gue nggak pernah lagi ngatain dia, gue selalu baik-baik sama dia. Sampe suatu saat Tetty bilang "Kok kaya tulisannya mas Oky ya?" "Ahm masak sih? Nggak lah" "Iya Dhik, persis tulisannya mas Oky" DAAR!! Disana gue ngerasa patah hati dan dikibulin. "Berarti selama ini kesenangan gue cuma illlusi? gue ditipu, gue ngerasa kalo selama ini yang smsan sama gue tu pacarnya Tetty" Gue ngerasa remuk redam. Ya, itu patah hati.
     Gue udah nggak smsan lagi sama Bowo, karena gue pikir percuma buang pulsa yang (jaman segitu masih mahal banget) pecuma smsan kalo bukan sama yang kita tuju. ZONK!!
     Sampe suatu saat ada sms masuk "Eh ketemuan yuk di deket rumahnya Tetty". "Sape ni? mas Oky apa Bowo?" gue yang udah males langsung jutekin doi. "Ya Bowo lah, si Oky kan udah d Jakarta tadi pagi" "Lah, lu kenapa nggak ikut ke Jekardah?" "Nah kan gue masih mau liburan disini buat ketemu elu" (oya gue belum jelasin ya? Dia kuliah di Jakarta, sedangkan gue di tempat antah berantah). Di sms kaya gitu RASANYAA balik lagi kaya naik paus akrobatik, kali ini ditambah hidung gue agak sakit, bukan karena mimisan tapi karena kepentok jendela karena joget-joget gila.
     WOHOOOOOOOO, moodboster!! rasanya kaya isi bensin full terus luber luber.
     Singkat cerita, setelah gue ikut acara pesta ulang tahun temen gue, gue ajak sohib gue, Monica sama Encus buat ikut ke rumahnya Tetty (modus boo) padahal rumah Tetty itu jauh banget, dan kalo kesana makan waktu 30menit an lah. Kita bertiga kesana naik angkot rombeng. Gue lupa kalo para sohib gue tersayang baru aja minum soda. MAMPUS! muntahlah mereka diperjalanan. bingung total deh gue, untung kita bertiga duduk dibelakang, jadi kalo muntah nggak kelihatan sama supir. Sehabis insiden, kita sampe di daerahrumah Tetty, gue sms Bowo, ngasih tua gue udah nyampe.
     Gue mampir ke warung dulu, beliin minum buat Monic sama Encus. btw, selama smsan gue cuma pernah ketemu Bowo sekali, itupun pas pandangan pertama di depan sekolah. Lama nggak liat doi, gue pangling. Di sebelah warung ada cowo lagi duduk, gue perhatiin tu muka, iye nggak iye nggak. Dia nyapa "HEY!!" gue celingukan, iye apa dia manggil gue? takut GR, gue jalan aja. Dia manggil lagi "Dhika!!!" WOT? muter deh badan gue "Bowo ya" AAAA BEGO sekali saya, ketemu kedua kalinya malah kaya bikin ilfeel gitu -___-
 
continue PART 2

RELASI Matematika Diskrit

Disini saya akan menjelaskan tentang relasi dari beberapa sumber yang saya ketahui, let’s check it.

Relasi

·         Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A×B.

·         Notasi: R ⊆ (A×B).

·         a R b adalah notasi untuk (a, b) ∈ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R

·         a R b adalah notasi untuk (a, b) bukan ∈ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

·         Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 1.

 Misal :

A = {Devan, Putra, Titan}, B = {44301, 44302, 44303, 44304}

A×B = {(Devan, 44301), (Devan, 44302), (Devan, 44303), (Devan, 44304),

  (Putra, 44301), (Putra, 44302), (Putra, 44303), (Putra, 44304),

  (Titan, 44301), (Titan, 44302), (Titan, 44303), (Titan, 44304) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu :

R = {(Devan, 44302), (Devan, 44304), (Putra, 44301), (Putra, 44302), (Titan, 44304)}

- Dapat dilihat bahwa R⊆(A×B),

- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (Devan, IF251)∈R atau Devan R 44302

- (Devan, IF342)bukan∈R atau Devan R 44303

Contoh 2.

Misal P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh :

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

· Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

· Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A×A.

· Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A×A.

Contoh 3.

Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) ∈ R jika x adalah faktor prima dari y. Maka,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

REPRESENTASI RELASI

1.   Representasi dengan Diagram Panah

 2.      Representasi Relasi dengan Tabel

·         Kolom pertama table menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

3.     Representasi Relasi dengan Matriks

      ·         Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}.

·         Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m_ij], 

yang dalam hal ini

Contoh 4.

Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

dalam hal ini, a₁ = Amir, a₂ = Budi, a₃ = Cecep, dan b₁ = IF221,

b₂ = IF251, b₃ = IF342, dan b₄ = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks seperti di bawah ini

yang dalam hal ini, a₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, dan b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 9, b₅ = 15.

4.    Representasi Relasi dengan Graf Berarah

·         Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah.

·         Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

·         Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)

·         Jika (a, b)∈R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

·         Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul ake simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh 5.

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

Sifat-sifat Relasi Biner

Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

1.Refleksif (reflexive)

·      Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)∈R untuk setiap a∈A.

·      Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a∈A sedemikian sehingga (a, a) bukan∈R.

Contoh 6.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) bukan∈R.

Contoh 7.

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)∈R untuk setiap a∈A.

Contoh 8.

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

R : x lebih besar dari y,                       S : x + y = 5,                          T : 3x + y = 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

Contoh 9. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)ÎR untuk setiap a Î A.                  

Contoh 10. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

            R : x lebih besar dari y,            S : x + y = 5,    T : 3x + y = 10

 Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

·         Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

·   Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

1.      Menghantar (transitive)

·         Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R, maka (a, c) Î R, untuk a, b, c Î A.

Contoh 11.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a)      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

(b)        R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) Î R, tetapi (2, 2) Ï R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) Î R, tetapi (4, 3) Ï R.

(c)         Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

(d)   Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) Î R dan (b, c) Î R  sedemikian sehingga (a, c) Î R.

(d)       Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

Contoh 12.

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini  c = nma, sehingga a habis membagi c.  Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.                                                                                                                   

Contoh 13.

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

            R : x lebih besar dari y,            S : x + y = 6,    T : 3x + y = 10

-  R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) Ï S.

- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.                      

·         Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

·         Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur  dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

1.      Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric)

·         Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a, b Î A, jika (a, b) Î R, maka (b, a) Î R.

·         Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) Î R sedemikian  sehingga (b, a) Ï R.

·         Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika untuk semua a, b Î A, (a, b) Î R  dan (b, a) Î R  hanya jika a = b.

·         Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) Î R dan (b, a) Î R.

·         Perhatikanlah bahwa istilah setangkup dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ¹ b.

Contoh 14.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

(a)    Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) Î R  maka (b, a) juga Î R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) Î R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) Î R.

(b)    Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) Î R, tetapi (3, 2) Ï R.          

(c)     Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) Î R, 2 = 2 dan (2, 2) Î R, dan 3 = 3 dan (3, 3) Î R. Perhatikan bahwa R juga setangkup.

(d)    Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) Î R dan 1 = 1 dan, (2, 2) Î R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.

(e)     Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ¹ 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup.

(f)     Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } setangkup dan juga tolak-setangkup, dan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.

(g)    Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup maupun tidak tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4, 2) Î R tetapi (2, 4) Ï R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) Î R dan (3, 2) Î R tetap 2 ¹ 3. 

Contoh 15.

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2, 4) Î R tetapi (4, 2) Ï R. Relasi “habis membagi” tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4) Î R dan 4 = 4. 

Contoh 16.

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.

            R : x lebih besar dari y,            S : x + y = 6,                T : 3x + y = 10

- R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.

- S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S.

- T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi  (1, 3) bukan anggota T. 

-  S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) Î S dan

    (4, 2) Î S tetapi 4 ¹ 2.

- buktikanlah relasi R dan T keduanya tolak-setangkup                                                   

·         Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau m_ij = m_ji = 1, untuk i = 1, 2, …, n :

·         Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

·         Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika m_ij = 1 dengan i ¹ j, maka m_ji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari m_ij = 0 atau m_ji = 0 bila i ¹ j :

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

Relasi Inversi

·         Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

                        R^–1 = {(b, a) | (a, b) Î R }

Contoh 17.

 Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

(p, q) Î R  jika p habis membagi q 

maka kita peroleh :

            R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R^–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P  dengan

(q, p) Î R^–1  jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh :

            R^–1  = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }                                                       

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

    maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M, 

Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

·         Jika R₁ dan R₂ masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R₁ Ç R₂, R₁ È R₂, R₁ – R₂, dan R₁ Å R₂ juga adalah relasi dari A ke B.

Contoh 18.

Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

Relasi R₁ = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R₂ = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

            R₁ Ç R₂ = {(a, a)}

            R₁ È R₂ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

            R₁ -  R₂ = {(b, b), (c, c)}

R₂ - R₁ = {(a, b), (a, c), (a, d)}

R₁ Å R₂ = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}                                                               

·         Jika relasi R₁ dan R₂ masing-masing dinyatakan dengan matriks M_R1 dan M_R2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

            M_R1 È R2 = M_R1 Ú M_R2   dan      M_R1 Ç R2 = M_R1 Ù M_R

_{Sekian yang dapat saya sampaikan, apabila ada kesalahan atau re-post, mohon dimaafkan. :)}

_{masih ada soft file di Ms.Word, tapi saya kesusahan untuk me-link nya. mungkin lain kali akan lebih diperbaiki.}

_{terimakasih..}